파동의 표현


파동의 수학적 표현

파동의 모든 것은 파동함수로 기술된다.

호수의 물결을 잘 관찰 해보면 호수면의 수면의 높이가 각 지점에따라 달리 되어 있으면서 그 형태가 계속 움직이는 것을 볼 수 있을 것이다. 수면의 높이(파동량)를 호수의 각 지점을 나타내는 2차원의 공간 과 주어진 시간 의 함수로 표현한다면 수면파의 행동에 대한 총체적인 표현을 하는 것이 될 것이다. 이처럼 파동의 모든 정보는 파동량의 공간, 시간의 함수로서 완벽하게 기술 되어 이를 파동함수(wave function)라고 한다.

파동함수의 차원은 그것이 표현하는 파동량의 물리적인 차원과 같아서 수면파나 줄의 파동 경우 파동함수는 거리의 차원을 가지고, 소리의 경우는 음압파동으로 보면 압력, 소밀파동으로 보면 밀도, 변위파동으로 보면 거리의 차원을 갖는다.

파동도 물리적인 현상이므로 운동법칙이나 전자기법칙 등 기본적인 물리법칙을 만족해야 하여 이에 따라 파동함수도 특별한 방정식을 만족하게 되는 데 이를 파동방정식(wave equation)이라 한다. 즉 파동의 파동함수파동방정식을 만족해야 하며 또한 이 파동방정식의 어떠한 수학적인 해도 물리적으로 가능한 파동이다.



[질문1] 여러 가지 파동을 열거하여 각각의 파동량(파동함수)은 어떤 물리량, 차원을 가지고 있는지를 알아보자.

[질문2] 수학의 함수로 표현하기 곤란한 파동은 어떤 경우일까? 수면파(바다의 파도)를 예로 설명해 보자.


_ 여러 가지 파동_ 파동량

줄의 파동방정식

줄의 양 끝이 장력 $T$에 의해 당겨지고 있을 때 팽팽하게 긴장된 상태를 유지하여 일직선을 이루고 있을 것이다. 이때 줄의 어떤 부분을 당겼다가 놓으면 변형된 모습은 양방향으로 퍼져 나갈 것이다. 줄의 운동양상은 전적으로 운동법칙에 의해 지배되고 따라서 줄의 부분이 받는 모든 힘을 분석해 봄으로서 파동이라는 특이한 운동의 형태를 이해 할 수 있다.

아래 그림에서 볼 수 있는 것 처럼 인접한 부분의 변위가 자기 자신에게 영향을 미치고, 또한 자기자신의 변위가 인접한 부분으로 영향을 주기 때문에 이것이 교대로 일어나서 그 변위의 정도가 공간상으로 퍼져나가게 된다. 줄의 각 부분이 서로 연결 되지 않았다면 파동은 생겨날 수 없을 것이다.

아래 그림은 줄의 일부분에서의 힘의 분포를 보여주고 있다. 수평방향이 $x$축 방향이고, 힘 $T$는 장력으로서 줄 전체에 걸쳐 거의 일정하다. 그리고 줄의 부분이 기울어져 있는 정도는 과장되게 그려져 있어 실제로 기울어진 각 $\theta$는 거의 0에 가깝다.

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줄의 진동_ 양쪽 끝이 장력 $T$로 팽팽하게 당겨진 줄의 일부분이 그림처럼 평형위치를 벗어났을 때에 받는 힘의 분포를 보여주고 있다. 분홍색으로 표시한 줄은 $x$축 위에 놓여 있을 때가 평형위치로 그 경우에는 서로 반대방향으로의 장력이 비겨서 알짜힘이 생겨나지 않으나 그림처럼 평형위치를 벗어나면 장력의 방향이 줄에 접하는 방향이 되어 평형위치로 되돌아 오게 하는 알짜힘이 생겨나게 된돠. 이 힘, 즉 복원력은 대체로 벗어난 정도에 비례하여 줄의 각 부위는 단진동에 가까운 운동을 하게 되고 또한 그 진동은 인접한 부위에 영향을 미쳐서 진동이 주변으로 번져나가게 된다.

$y$ : 줄의 세로방향으로의 변위. 줄의 위치 $x$와 시간 $t$에 따라 달라진다. $y(x,t)$의 함수 형태로 표현된다.

$x$ : 줄의 위치

$t$ : 시간

$T$ : 줄의 양 끝이 당겨주는 힘(장력). 이 힘은 줄을 따라 모든 지점에 거의 같은 크기로 전달된다.

$\mu$ : 줄의 선밀도

줄의 변위가 적어서 기울어진 각도 $\theta$가 0 에 가까울때 \[\sin(\theta)\approx\tan(\theta)=\frac{\partial y}{\partial x}\] \[\cos(\theta)\approx\cos(\theta+\Delta \theta)\approx 1\] 로 놓을 수 있다. 위 그림에서 줄의 일부분 $\Delta x$가 받는 힘은 아래와 같다. \[ T [ \sin(\theta+\Delta\theta) - \sin(\theta)] = T \left[ \frac{\partial y}{\partial x} \Bigg| _{x+\Delta x} - \frac{\partial y}{\partial x}\Bigg|_x \right] = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Delta x \] 이 힘을 받는 줄의 질량은 $\Delta m = \mu \Delta x$이므로 다음의 운동방정식을 따른다. \[ T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Delta x = \mu \Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \] 이를 정리하면 1차원에서의 파동방정식을 얻을 수 있다. \[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \] 여기서 $v$는 파동의 진행속도로서, \[ v^2 = \frac{T}{\mu} \] 이다. 이로써 줄이 평형위치에서 벗어난 정도를 나타내는 함수 $y$는 $x$와 $t$의 함수로서 파동의 행동을 완전하게 묘사해 준다. 이것이 줄의 파동의 파동함수 가 되고 이 파동함수가 만족하는 방정식이 줄의 파동방정식이라 한다.

파동방정식은 앞에서 줄의 경우에 대하여 유도한 것과 같이 각각의 파동에 대하여 달리 유도하여야하나 대부분의 파동들은 줄의 파동과 거의 유사한 형태의 방정식을 만족한다. 단 보다 파동함수가 가리키는 파동량은 줄의 경우에는 $y$ 방향의 변위이므로 $y(x, t)$로 나타낼 수 있지만 보다 다른 여러 종류의 물리량일 수 있다. 예를 들어 음파의 경우에는 파동량이 진행방향인 $x$ 방향으로의 변위이거나 압력이고, 빛의 경우에는 전기장이나 자기장이다. 따라서 파동량을 보다 일반적으로 $\Psi$라 하면 파동함수는 $\Psi(x,t)$가 되고 다음의 파동방정식을 만족한다. (이제부터 파동함수를 $\Psi(x,t)$로 표시한다) \[ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \]


_ 파동량_ 알짜힘_ 복원력_ 전기장_ 자기장_ 음파_ 주기_ 진동

파동방정식의 해

줄의 파동에서와 같은 1차원 파동방정식은 다음과 같은 $(x-vt)$ 나 $(x+vt)$ 의 임의의 함수형태의 해를 갖는것을 쉽게 확인 할 수 있다. \[ \Psi(x, t) = f(x-vt) \quad \mathrm{or} \quad g(x+vt) \] 함수 $f$는 임의의 1변수 함수로서 $t=0$ 에서 $f(x)$의 함수꼴을 하고 있는 파동이 오른쪽으로 $v$의 속력으로 이동하는 것이고, $g$는 반대방향으로 같은 속력 $v$로 이동하는 것이다. 이로서 1차원 파동방정식의 표현속에 들어 있는 $v$는 바로 파의 이동속력임을 알 수 있고, 이는 일반적으로 매질의 탄성과 관성의 비의 제곱근에 비례한다.

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일반적인 파동의 운동 모습_ 임의의 함수형태를 하고 일정한 속력 $v$로 운동하는 파는 1차원 파동방정식을 만족한다. 위의 붉은 색으로 표현한 것은 시간의 흐름에 따라 오른쪽으로 v로 이동하는 $f(x-vt)$ 형의 파동이고 아래의 보라색의 것은 반대로 운동하는 $g(x+vt)$ 형의 파동이다.


_ 1차원 파동



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