파동묶음

파동묶음

엇비슷한 진동수의 두 진동이 겹쳤을때 그 진폭이 천천히 줄었다가 커졌다가 하는 것을 맥놀이라 하였고, 여러 진동을 겹치면 시간적으로 더 밀집된 진동이 만들어지는 것도 살펴 보았다. 이제 이 개념을 확장시켜 엇비슷한 진동수의 파동들이 겹쳐진 효과를 알아본다.

비슷한 파장(혹은 파수)과 진동수의 두 파동을 합성하면 공간적으로 마디지어진 파동이 만들어진다. 이는 마치 맥놀이가 시간적으로 마디지어지는 것과 비슷하다. 그리고 파수와 진동수를 적절하게 주어서 많은 파동을 합성하면 거의 공간의 좁은 영역에 밀집된 파동도 만들 수 있는데 이를 파동묶음(wave packet), 혹은 파동속, 파속이라 한다. 맥놀이가 파동의 시간적인 측면이라면 파동묶음은 파동의 공간적인 측면이라 할 수 있다. 양자론에 의하면 자연의 입자들도 결국에는 물질파가 합성 된 결과로 보기 때문에 이 파동묶음에 대한 이해는 양자론을 이해하는데에 매우 중요하다.

__맥놀이__물질파__진동수__마디__파수__파동__진폭

파동묶음 모의실험

아래 프로그램에서 각각의 파수와 진동수를 달리한 파동을 중첩시켜 합성파동의 모양과 행동을 살펴볼 수 있도록 하였다. 처음에 주어진 상황은 , 인 두 파동을 중첩시킨 것으로 '시작' 버튼을 누르면 파동이 무리지어진 것이 각각의 진행속도보다 더 빠르게 움직이는 것을 볼 수 있다.

1. 처음에 나타나는 조건에서 '시작'을 눌러서 파동이 행동하는 것을 관찰하자. 이때 각각의 파동과 파동묶음의 진행속도를 측정하자.

2. 이제 이 프로그램에서 두번째 파동을 로 변경해보자. 이 경우는 두 파동의 진행속도가 모두 1 m/s인데, 파동묶음의 진행속도는 얼마인가? 왜 그런지 생각해 보자.

3. 두번째 파동을 으로 변경한다. 이 경우의 파동의 묶음은 아예 움직이지 않는다. 왜 그럴까?

4. 두번째 파동을 로 변경하면 파동묶음이 오히려 뒤로 움직인다! 뒤로 움직이는 속도는 얼마인지 측정해 보자.

5. 각 파동의 파수를 조절하여 파동묶음이라고 볼 수 없는 상황을 만들어 보자. 두 파수가 어떻게 주어져야 파동묶음이 된다고 볼 수 있을까?

__진동수__파수__파동__진폭

두 파동의 합성

앞의 모의실험을 통하여 두 파동이 합성되었을때 나타나는 다양한 결과를 살펴 보았다. 이제 파동묶음의 행동을 이해하기 위해 파동함수를 동원하여 계산을 해 보자. 우선 다음과 같은 파동함수로 표현되는 두 파를 합성하자. 이때 각각의 파수와 진동수는 약간 차이나는 것으로 하여 로 하였다.

(1)

합성된 결과는

(2)

우항의 앞 묶음이나 뒤 묶음 다 평면파를 나타낸다. 뒤 묶음식은 원래의 파와 별반 차이없는 파를 나타내나 앞 묶음식은 파수가 , 로서 원래의 파에 비하여 파수가 작은 값이어서 파장이 길고, 또한 진동수는 작은 파가 된다. 따라서 이 파동은 무리지어진 파동 안에 원래의 파동과 거의 같은 파가 숨어 있는 것으로 볼 수 있다. 이 무리지어진 파동이 바로 파동묶음이고, 이의 이동속도는

(3)

이다. 파동묶음의 이동속도를 군속도(group velocity)라 한다. 만일 연속적인 파수를 갖는 여러 파가 중첩되었다면 군속도는 다음과 같이 미분형으로 표현될 것이다.

(4)

한편 파동묶음에서 낱낱의 파동, 즉 단일 파장의 파가 진행하는 속도를 여기서 정의한 군속도와 구별하기 위해 위상속도(phase velocity) 혹은 파동속도(wave velocity)라고 부르기도 한다. 실제로 파동이 전파되면서 이에 실려 이동하는 에너지나 신호 등은 위상속도가 아닌 군속도를 그 속도로 한다.

지금까지처럼 파동의 진행속도가 파장에 관계없이 일정한 값 를 갖는다면 위상속도나 군속도는 같을 것이다. 즉 파동의 행동을 지배하는 파동방정식의 가 파장에 관계없다면 와 의 관계는

(5)

이다. 따라서

(6)

따라서 파동묶음은 개개의 파동이 이동하는 속도와 같이 움직일 것이다. 즉 합성된 파동이 그 형태를 고스란이 유지하면서 이동하게 된다.

__파동방정식__파동함수__평면파__진동수__파수