정상파와 공명


정상파

머물고 있는 파동

정상파(정지파, 멈춘파동)는 서로 마주보고 달려오는 조화파의 파장과 진폭이 같을 때 두 파가 겹쳐지는 부분에서 마치 공간에 파동이 머무르고 있는 듯한 양상을 보이는 현상 을 말한다. 아래 그림에서 마주보고 달려오는 정현파가 중앙부근에서 만날때 진동하는 부분과 진동을 하지 않는 부분이 있는 것을 알 수 있다. 여기서 두 파의 파장과 진폭은 동일하다.

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두 파동이 만드는 정상파_ 같은 파장, 같은 진폭의 두 파동이 서로 마주보고 다가가고 있다. 두 파동이 겹쳐지는 중앙에서 이동하지 않고 크게 진동하는 파형을 볼 수 있다.

두 파가 만나서 정상파가 만들어지는 경우는 파가 매질의 경계로 입사하여 그 파와 동일한 진동수, 진폭의 반사파가 만들어지는 경우에도 관측할 수 있다. 줄을 벽에 매달고 한쪽 끝을 흔들어주면 벽에서 반사되는 줄의 진동과 만나서 결과적으로 머무른채 진동하는 것을 관측해보자.

파동이 동일한 진동수 파장을 가지고 있으면서 반대방향으로 진행하고 있을 때 이를 합성하면 아래의 수식으로 보인 바와 같이 시간에 따라 진동하는 함수부분과 공간의 함수부분 두 개의 곱으로 나타내어진다. 즉 공간에 고정된 형태를 하고 있는 것을 알 수 있다. \[ \Psi_1 = A \sin (kx - \omega t) \] \[ \Psi_2 = A \sin (kx + \omega t) \] \[ \begin{equation} \label{eq3} \Psi_1 + \Psi_2 = [2 A \cos \omega t ][\sin kx ] \end{equation} \]

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정상파의 형성_ 녹색의 파동은 오른쪽으로, 파란색의 파동은 왼쪽으로 움직이고 있다. 두 파동진동수, 파장 및 이동속도가 동일하다. 이 두 파동이 합성된 파동의 움직임은 '합성파 보기'를 선택하면 볼 수 있다. 만일에 두 파의 진폭이 같으면 합성파는 원점에서와 다른 몇 지점에서 마디가 형성되는 정상파가 된다. 한편 '상대진폭'의 슬라이더를 움직여서 왼쪽으로 이동하는 파의 진폭을 변화시키면 마디에서의 진동이 완전히 사라지지 않는 불완전한 정상파가 만들어진다.

위 그래프를 통해서 알 수 있는 것 처럼 두 파의 진폭이 같은 경우에는 파동의 모든 부분은 같은 형식, 즉 같은 진동수와 위상으로 진동을 하는 데 그 진폭은 위치에 따라 다른 값을 유지하게 된다. 진폭이 가장 큰 부분을 라하고, 진동이 없어서 진폭이 0인 부분을 마디라 한다. 인접한 마디와 마디사이, 배와 배사이의 거리는 파장의 반 이 된다. 위 그림처럼 정상파는 시간이 흐름에 따라 파가 진행하는 것이 아니고 그 자리에서 진동을 하는 것이어서 멈추어 선 파동이라 할 수 있다.

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줄의 정상파_ 줄의 왼쪽 끝을 벽에 고정시키고 오른쪽에서 파동을 왼쪽으로 보내면 원래의 파동과 벽에서 반사되는 파동이 합성되어 만들어지는 정상파를 볼 수 있다. 이는 벽에 고정된 부분에서의 줄이 진동하지 못한다는 경계조건의 결과로서 나타나는 현상이기도 하다. 시간이 지나면 계속 파장을 달리하여 보여준다.

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줄의 정상파의 모습_ 실제의 줄의 정상파의 사진. 왼쪽이 묶여 있는 줄의 오른쪽을 강제로 진동시켰을 때 그 진동수가 특별한 경우 사진 같이 몇 가지의 정상파가 생성된다.

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정상파의 위상자_정상파의 각 지점에서의 위상자의 운동을 보여준다.



[질문1] 위 '줄의 정상파의 모습' 사진에서 세 개의 정상파를 보이고 있다. 줄의 길이가 1m이라면 각각의 파장은 얼마인가? 또한 줄에 가해지는 장력이 1N, 줄의 질량이 1g이라면 각각의 진동수는 얼마일까?

[질문2] $\Psi_1 = A \sin (kx - \omega t)$와 $\Psi_2 = A \sin (kx + \omega t + \pi/2)$로 표현되는 두 파동이 만나는 경우의 합성된 파동정상파일까? 정상파라면 \eqref{eq3}의 식으로 표현되는 정상파와는 어떤 차이가 있을까?

[질문3] $\Psi_1 = 5.0 \sin (1.0 x - 2.0 t)$와 $\Psi_2 = 5.0 \sin (1.0 x + 2.0 t)$의 두 파동정상파를 만들고 있다. $x=1, 2$ 두 지점에서의 진폭은 각각 얼마인가? 또한 $x=0\sim 20$ 사이의 마디점의 위치를 다 나열하라. 단 모든 수치의 단위는 SI 단위계를 따른다.


_ 경계조건_ 위상자_ 조화파_ 진동수_ 마디점_ 진폭_ 파동



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