광속불변의 원리


운동의 관찰

우리 주변에는 견고하게 그 자리를 지키고 있는 것도 있지만 여러 가지 모습으로 움직이는 물체도 많다. 특히 스포츠에서는 축구공, 화살, 사람 자신 등 여러 가지 물체가 다양하고 역동적인 운동하게 되고 이를 통해서 우리는 즐거움을 맛본다. 더구나 요즈음은 중계기술이 발달하여 TV를 통해 다양한 시각에서 스포츠를 보다 실감나게 볼 수 있다. 올림픽 육상에서는 달리는 선수와 거의 같은 속도로 카메라가 따라 붙어서 마치 선수는 팔만 허우적거리는 듯이 보인다. 그렇다면 이 선수는 실제로 앞으로 나아가는 것이 아니라고 할 수 있을까?

아래 그림을 살펴보자. 이 그림에서 트럭 위에 공이 놓여 있으며 오른쪽으로 달려가고 있다. 그림은 정지해 있는 것처럼 보이지만 실제로 운동하는 어떤 순간의 모습이다. 그리고 트럭 위의 공은 막 위쪽으로 던져지고 있다. 오른편 아래의 '운동' 버튼을 누르면 시간이 진행되고 운동을 관찰할 수 있게 된다.

공이 트럭 위로 고스란히 되돌아오면 운동은 다시 정지하고, 처음상태를 다시 보여줄 태세를 하게 된다. 농구공의 운동을 있는 그대로로, 또 '트럭좌표계'를 선택하여 트럭과 함께 같이 움직이는 입장이 되어 관찰해 보자.

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좌표계와 운동의 관찰_ '운동'을 누르면 움직이는 트럭에서 위로 농구공이 발사된다. 이 공은 다시 트럭에 고스란히 내려앉는다. 그러나 이 운동은 그저 수직방향으로의 운동이 아니라 포물선 운동을 하는 것처럼 보인다. 이제 '트럭좌표계'를 선택하면 컴퓨터 화면은 트럭과 함께 달려가는 관찰자의 입장이 된다. 처음에는 보인 운동의 양상은 도로에서 관찰한 것이다. 이렇게 물체의 운동을 보는 입장에 따라 관찰내용이 달라진다. 그렇다면 물리법칙이 어느 경우에 성립한다고 말할 수 있을까? 한편 왼쪽의 '좌표눈금보이기'를 선택하여 두면 물체의 운동을 보다 정확하게 측정할 수 있도록 배경은 사라지고 좌표계가 보인다. 이 좌표계 위에서 시시각각 변하는 물체의 위치를 마음속에 표시해 보자. 녹색의 눈금은 도로에 고정되어 있고, 푸른색의 눈금은 트럭에 고정되어 있다. 여기서 공과 공기 사이의 마찰이 없고 단지 아래방향으로 일정한 힘에 의해 자유낙하의 운동을 한다.

위 그림을 통하여 물체의 운동이 그것을 관찰하는 입장에 따라 달라진다는 것을 알았을 것이다. 공의 운동은 트럭 바깥에서 볼 때 오른쪽으로의 속도를 가진 포물선 운동을 한다. 반면에 트럭과 같이 가거나 아예 트럭에 올라탄 입장이 되면 공은 연직방향으로의 단순한 운동을 한다. 운동은 그것을 보는 입장에 따라 다르게 나타난다는 것을 알게 되었다.

이제 운동을 묘사하는 데 보다 주의를 기울여야 한다! 관찰하는 입장, 즉 좌표계의 선택에 따라 그 내용이 다르기 때문이다. 위 그림을 통해서 살펴본 것을 보다 정교하게 검토해 보자.

좌표계와 좌표변환

물체의 운동을 객관적이고 정량적으로 기술하기 위해서 좌표계의 도입이 필요하다. 이 좌표계를 기준으로 하여 물체의 위치를 숫자로 나타낸다. 앞에서처럼 물체가 하나의 평면 위에 국한된 운동을 한다면 아래 그림처럼 이를 2차원의 좌표값, 즉 $(x, y)$로 나타낼 수 있다.

한편 물체의 운동은 시간의 흐름에 의해 일어나기 때문에 좌표값과 함께 시간도 같이 측정해야 한다. 따라서 공간에 대해 2차원이라면 물체의 시시각각의 위치는 $(x(t), y(t))$와 같이 시간의 함수로 표현될 것이다.

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두 좌표계의 관계_ $O$에 대해 $x$ 방향으로 $v$의 속도로 움직이는 $O'$ 좌표계가 있다. $t$ 시간일 때 한 점 P의 위치를 각각의 좌표계는 다른 값으로 측정한다.

위 그림에서처럼 한 운동을 관찰하는 두 개의 좌표계가 있고 한 좌표계 $O'$은 다른 좌표계 $O$에 대해 $x$ 축의 방향으로 $v$의 속도로 등속운동을 한다고 하자.

어떤 물체(P)의 위치좌표는 다음과 같은 관계를 만족한다. \[ x' = x - vt, \] \[ y' = y, \] \[ t'=t \] 여기서 시간 $t$는 두 좌표계가 공유하게 두었는 데 이를 뉴턴 이래 자명한 것으로 믿어 왔다. 이에 대해서는 추호도 의심할 여지가 없다고 생각했다. 시간은 어디서나 균일하게 흘러가고 따라서 시간의 두 좌표계에 있는 각각의 시계를 일단 맞추어 놓기만 하면 족하다고 생각한 것이다. 위와 같은 좌표변환갈릴레이 변환(Galilean transformation)이라 한다.

따라서 두 관찰자가 관측하는 속도는, \[ v'_x=v_x-v, \] \[ v'_y=v_y \] 이와 같이 위치좌표와 더불어 속도도 좌표계에 따라 다르게 관측되는 물리량이다. 더구나 두 좌표사이의 속도 변환은 좌표계의 상대적인 속도가 더해지거나 빼지는 관계를 가진다는 것을 알 수 있다. 앞의 트럭 위에서 발사되는 농구공의 $x$ 방향의 속도는 도로에서 보았을 때 트럭의 이동속도와 같다. 따라서 트럭 위에서 보면 이 값이 $v-v$가 되어 0으로 관찰된 것이다.

한편 위의 속도관계식을 시간 $t$에 대해 한 번 더 미분하면 가속도의 관계가 나온다. 두 좌표계에서의 가속도는 $a'_x=a_x$ 등과 같이 같은 값을 가진다. 뉴턴의 운동법칙은 힘과 가속도의 관계이고, 따라서 서로 등속으로 운동하는 두 좌표계에서 운동법칙이 같은 형식으로 성립하는 것이다. 1900년까지에는 관성계라 부르는 등속좌표계에서 역학이 동일하게 성립하는 것이 깨지는 것을 볼 수 없었다. 이를 갈릴레이의 상대성 원리라고 하기도 한다.

그러나 그 이전, 즉 20세기 후반부에 거의 완성된 전자기 현상과 빛에서는 이러한 뉴턴의 역학의 체계가 몇몇 부분에서 잘 들어맞지 않는다는 것이 알려졌다. 부득이하게 앞에서 살펴본 좌표계의 변환관계를 다시 재고해 보아야 했다.


_ 좌표변환



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