슈뢰딩거 파동방정식


확률밀도함수

입자를 발견할 확률의 파동이다.

양자역학은 입자를 발견할 확률의 파동이 슈뢰딩거 방정식에 따라 공간적으로 펼쳐져 있으며 아울러 시간에 따라 변한다. 그리고 파동함수 $\Psi$의 절대치 제곱이 확률에 비례한다. 즉 $x \sim x+dx$에서 입자를 발견할 확률은 \[ P(x, t)dx = |\Psi(x,t)|^2 dx = \Psi^*(x,t)\Psi(x,t) dx \] 이 되며, 여기서 $P(x,t)$가 확률밀도함수이다.

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확률밀도함수_ 녹색으로 표시한 파동함수를 절대치 제곱한 함수가 붉게 채운 그래프로 그려져 있다. 그림에서 $x \sim x+dx$의 범위가 표현되어 있고 이 구간에서 입자를 발견할 확률은 막대 그래프의 면적에 거의 비례한다.

한편 하나의 입자가 존재한다면 이는 반드시 전체 공간에서 발견되어야 할 것이다. 따라서 다음과 같이 확률밀도함수를 전 공간에 대해 적분한다면 결과가 1 이 나와야 한다. \[ 1 = \int_{-\infty}^\infty \Psi^*(x,t)\Psi(x,t) dx \]

슈뢰딩거 방정식은 선형이므로 $\Psi$가 방정식을 만족한다면 이를 $c$배 한 $c\Psi$도 방정식의 해가 된다. 이제 이 $c$는 위의 전제조건에 의해 결정되고, 이렇게 확정하는 과정을 규격화(normalization)라 한다.

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입자가 존재할 확률_ 두 지점 사이에 입자가 존재할 확률은 확률밀도함수를 그 구간에 대해서 적분한 것으로 그래프이 면적이 된다. 그림에서 로 표시한 영역의 면적이 의 구간에서 입자를 발견할 확률이다. 여기서 사용한 파동함수는 가우스 함수형으로 를 마우스로 옮겨서 구간을 달리 설정할 수 있다.

한편 확률밀도함수로부터 위치 $x$의 기댓값은 다음과 같이 계산된다. \[ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^\infty x P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* x \Psi dx \]

그리고 $x$의 함수로 표현되는 물리량 $G(x)$의 기댓값은, \[ \langle G(x) \rangle = \int_{-\infty}^\infty G(x) P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G(x) \Psi dx \] 이다. 여기서 굳이 $x$나 $G(x)$를 $\Psi^*$와 $\Psi$ 사이에 표기하는 것은 나중에 설명하는 연산자의 개념과 통일을 기하기 위해서 이다.



[질문1] 어떤 입자의 파동함수가 $x=-1 \sim 1$에서 $\Psi(x) = A (1-|x|) $로 주어지고 그 외 영역에서는 $0~$이라 하자.
(a) 전 공간에서 입자를 발견할 확률을 $1~$로 만드는 규격화 조건에서 $A~$를 구하고 이 파동함수확률밀도함수를 그래프로 그려라.
(b) $\langle x \rangle$, $\langle x^2 \rangle$을 구하라.
(c) 위치 불확정성 $\Delta x$는 $\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x \rangle^2}$으로 정의한다. 이 파동함수에 대한 $\Delta x$를 구하라.

[질문2] 어떤 입자의 파동함수가 $\Psi(x) = A e^{-x^2/2} $으로 주어진다. $A~$를 정하고 $\langle x \rangle$와 $\langle x^2 \rangle$, $\Delta x$를 구하라.

[질문3] $x$의 전 영역에서 $\Psi(x) = A e^{x^2} $으로 주어지는 파동함수양자역학의 적절한 파동함수가 될 수 없다. 이 이유는 무엇인가?


_ 파동함수



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