조화진동


조화진동

아래 프로그램은 용수철에 물체가 매달려 있어 물체를 평형 위치에서 벗어나게 하여 놓아주면 평형 위치를 중심으로 하여 왕복운동을 하는 것을 볼 수 있다. 이처럼 조화력으로 거듭되는 운동을 조화진동(harmonic oscillation)이라 한다.

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용수철에 의한 진동_훅의 법칙하에 있는 물체의 운동을 관찰해 볼 수 있다. 그림에서 둥근 공 모양의 물체를 마우스로 끌어주게 되면 물체가 이동하고 따라서 용수철에서 복원력이 나타나게 된다. 특정 지점에서 물체를 가만히 놓아주게 되면 물체는 $x=0$ 를 중심으로 한 왕복운동을 하게 된다. 이 프로그램에서는 물체의 질량을 1 kg, 용수철 상수를 1 N/m 로 하였고, "빠르게..."를 선택하면 거의 실제의 시간흐름으로 볼 수 있고, 선택하지 않으면 느리게 볼 수 있다.

일반적인 진동에 비하여 훅의 법칙에 의한 진동을 해석하는 것은 그렇게 어렵지 않다. 용수철 상수 $k$인 용수철에 질량 $m$인 물체가 달려 있을 때의 물체의 운동방정식은 \[ -kx = m \frac{d^2x}{dt^2} \] 이 되어 물체의 위치 $x$가 시간 $t$ 에 따라 변하는 함수 $x(t)$를 구하는 문제가 된다. 이러한 형태의 방정식을 미분방정식이라 하는 데 보통의 미분방정식과 달리 이 문제는 직관에 의해 쉽게 풀린다. 어떤 함수를 두 번 미분했는 데도 그 함수의 형태가 변하지 않는 것은 sin이나 cos 함수이다. 따라서 아래와 같이 함수를 추정하여 윗 식에 다시 대입함으로서 계수를 정하게 된다. \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi) \] 이를 운동방정식에 대입하면 단지 $\omega$만 아래와 같이 지정되고 다른 일반적인 운동방정식에서처럼 물체의 초기 $(t=0)$ 위치와 속도의 정보로부터 $A$와 $\phi$ 두 계수가 정해지게 될 것이다. \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

아래 프로그램에서 용수철에 매달린 물체가 실제로 운동하는 모양을 관찰할 수 있다. 매달린 물체의 질량을 바꾸거나 물체의 초기 위치를 달리 주면 운동이 다르게 나타나지만 그 양상은 다 비슷하다는 것을 알 수 있다. 즉 언제나 시간에 따라 sin 함수와 비슷한 함수를 그리면서 같은 운동이 거듭되고 있다. 질량에 따라 거듭되는 시간간격이 달라지고 변위시킨 정도에 따라 운동의 폭이 달라지는 것을 알 수 있다.

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조화진동의 운동분석_ 용수철에 매달린 물체가 진동하는 모습을 시간에 대한 그래프로 표시하는 모의실험이다. 처음에 주어진 물체의 질량은 5 kg로서 아래의 슬라이더를 움직여서 1 ~ 20 kg 으로 변화시킬 수 있으며, 용수철 상수는 10 N/m 으로 고정되어 있다. 물체의 위치를 나타내기 위하여 기록용지가 일정한 속력으로 왼쪽으로 지나가고 있다. 따라서 그래프 용지에 기록된 궤적이 바로 시간에 대한 물체의 위치 x(t) 함수를 시간을 가로축으로 하여 나타낸 것이 된다. 현재의 시간과 물체의 위치가 오른쪽 아래에 나타나고 있어 물체의 운동을 면밀하게 분석해 볼 수 있다. 일정한 시간이 지나면 물체는 운동을 멈추게 되므로 물체를 마우스로 끌어서 운동을 시작시켜야 한다. 운동이 개시되는 순간부터 t = 0 으로 하여 시간을 매겨나간다.

조화진동의 운동식 $x(t)=A\sin(\omega t + \phi)$은 시간 $t$가 $2\pi/\omega$ 만큼 지나면 같은 운동의 양상이 거듭되는 것을 말해준다. 이 거듭되는 시간간격을 주기라 한다. 경우에 따라서 1초에 몇번 운동이 반복되는가를 나타내는 것이 편리할 때가 많은데 이를 진동수라 한다. 진동수주기의 역수가 되어 $f = \omega/2\pi$가 된다. 따라서 운동식 속에 있는 $\omega$는 진동수에 $2\pi$가 곱해진 값으로 이를 각진동수라고 한다. 진동수보다는 각진동수진동을 묘사하는 것이 편리할 때가 많은데 각진동수를 그저 진동수라고 하기도 한다. 진동수에 $2\pi$를 곱하는 것은 운동이 1 회 완성되는 것을 한 바퀴의 원이 완성되는 것으로 하여 1초 동안에 회전한 각도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다.

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단조화진동의 식_

한편 이 운동식에서 $A$는 본질적으로 진동계에 무관하게 초기의 운동상황(초기조건)에 따라 결정되는 값으로 진폭이라 한다. 물체는 $+A ~ -A$ 사이를 왕복하게 되어 실제의 진동의 폭은 $2A$가 된다. $\phi$ 또한 이와 마찬가지로 초기조건에서 결정되는 값으로 위상이라 한다.

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조화진동의 운동 그래프_조화진동의 시간에 따른 운동 모습의 그래프로, 진폭, 각진동수, 위상을 변경시켜 운동을 살펴볼 수 있다. 왼쪽의 원은 조화진동을 원운동에 대응시키는 것으로 조화진동을 하는 물체는 붉은 색 점으로 표시한 것이고, 이는 원운동을 하는 분홍색 점의 수직축에 대한 그림자의 운동으로 볼 수 있다.



[질문1] 1초에 2번 진동하면서 진폭이 0.1m으로 조화진동을 하는 물체가 시간 $t=0$에 최고점을 지나고 있다. 이 운동의 식을 시간의 함수로 표현하라. 이 물체는 6.5 초, 9 초에는 각각 어디를 지나가고 있을까?

[질문2] 질량 5 kg인 물체가 용수철 상수 k = 50 N/m인 용수철에 매달려 있다. 이 물체를 평형위치에서 x = 5 cm 당겨서 놓았다. 이 운동의 진동수, 각진동수, 주기는 각각 얼마인가? 시간이 10 초 경과하고 나서의 이 물체는 어디를 지나고 있는가?



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