조화진동


진동

우리 주위에서 일어나는 물체의 운동중에서 나무가지가 바람에 의해 떨린다든지 벽장시계의 추가 왔다갔다 흔들린다든지 하는 형태로 운동이 거듭되는 경우를 볼 수 있다. 이것은 물체가 어떤 평형점으로 되돌아 오려고 하는 복원력이 끊임없이 작용하여 평형위치를 기점으로 한 왕복운동을 하는 것으로 이를 일반적으로 진동이라 한다.

아래 그림에서 보이는 물체의 운동은 중력이 작용하고 있고, 바닥이나 벽면에서 탄성충돌을 하여 운동중에 에너지를 잃지 않는 환경에서 물체가 같은 운동을 반복하고 있다. 이렇게 물체의 위치가 시간에 따라 거듭되고 있을 때의 시간간격을 주기라 한다. 즉 시간을 변수로한 물체의 위치함수는 주기함수가 된다. 한편 그림에서 물체가 공기의 저항을 받거나 충돌과정에서 에너지를 잃게 된다면 그 운동은 지속되지 못하고 점차 가장 안정된 상태로 가게 될 것이다. 왼쪽의 경우에는 물체가 최종적으로 바닥에 붙어버리게 될 것이고, 오른쪽 위 경우에는 진동의 폭이 점차 줄어들면서 최종적으로 그릇의 바닥에 머물게 될 것이다. 오른쪽 아래의 경우에는 물체가 머무르게 되는 특별한 위치는 없으나 어쨌든 운동이 일어나지 않고 안정된 상태를 유지할 수 있는 위치를 평형위치라 한다. 이러한 경우 왕복운동의 폭도 점차 줄어들게되며 일반적으로 주기도 변하게 된다.

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몇 가지 진동_ 왼쪽 그림은 떨어지는 물체가 지면에서 탄성충돌하여 되튀어 오르면서 계속해서 같은 운동을 거듭하고 있다. 오른쪽 위는 그릇처럼 홈이 파진 곡면을 따라서 운동하는 물체의 운동을 보여준다. 오른쪽 아래는 양쪽이 막혀있는 관 속에서 물체가 계속해서 왕복운동을 하고 있다. 이 모든 운동은 매끄러운 운동을 아니지만 일정한 주기로 같은 양상이 거듭되고 있어 진동의 일종이라 할 수 있다.

앞에서처럼 물체가 외부에서 작용하는 퍼텐셜, 구조물 등의 제한에 의해 갇힌 운동을 하는 경우 중에서 태양의 주위를 돌고 있는 지구나 지구 주위의 달의 운동처럼 원운동에 가까운 운동을 하는 경우가 있다. 이 운동을 옆에서 본다면 왕복운동이 되어 진동이라 할 수 있고 따라서 진동이 2차원의 각 축에서 독립적으로 일어나는 것으로 이해할 수 있다.

아래 그림은 벽면에 고정되고 탄성을 가지고 있는 막대가 진동하는 모습을 보여주고 있다. 이 경우 진동이 일어나는 원인은 막대기가 일직선으로 있으려고 하는 복원력이 있기 때문인 데 탄성을 거의 가지지 않는 철사나 납 등은 원래의 형태로 되돌아가지 않고 변형시킨 그대로 남아있어 이러한 진동이 지속되지 못한다.

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막대의 진동_ 탄성을 가지고 있는 막대기의 끝에 있는 붉은색 부분을 마우스로 끌어서 놓으면 전체가 진동을 하게 된다. 이는 막대기가 직선으로의 평형위치로 되돌아가려는 힘을 받기 때문이다.


_ 탄성충돌_ 저항

퍼텐셜과 진동

물체의 퍼텐셜에너지를 이용하여 진동을 이해하는 것이 편리할 때가 많다. 아래 그림은 1차원에서 진동이 일어날 수 있는 다양한 퍼텐셜하에서의 물체의 운동을 보여주고 있다. 일반적으로 진동은 아래로 오목한 형태의 퍼텐셜하에서 그 퍼텐셜의 최대 높이 이하의 에너지를 갖는 경우에 일어나게 되는 데 이 그래프로부터 운동의 범위, 평형위치 등의 파악이 용이하다.

아래 그림에서 퍼텐셜을 바꾸어가면서 운동의 양상을 잘 관찰해 보자. 속력이 가장 빠른 지점, 속력이 0 이 되는 지점, 왕복운동을 하는 운동의 형태 등을 주의깊게 살펴보면 퍼텐셜 그래프로부터 비교적 쉽게 운동을 해석해 낼 수 있을 것이다.

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1차원 진동의 여러 가지_ 그래프 형태로 주어진 여러 가지 형태의 퍼텐셜에너지에서 진동하는 모습을 다양하게 보여준다. 화면 아래의 '다른퍼텐셜'을 클릭하면 다른 퍼텐셜이 주어지고 '운동/정지'를 누르면 운동하는 모습이 보여진다. 또한 붉은 공을 좌우로 옮겨 놓으면 그곳에서 새로운 운동이 시작된다.

평형위치는 퍼텐셜에너지 함수가 부분적으로 극소값을 가지는 지점인 데 이곳에서는 물체가 힘을 받지 않는다. 또한 물체의 진동의 폭도 에너지 보존법칙에 의해 물체의 총에너지보다 퍼텐셜이 작은 값을 갖는 영역으로 제한 된다는 것을 알 수 있다. 아래 그림에서는 녹색 선으로 주어진 총에너지를 갖는 각각의 경우 A~B, C~D가 진동이 일어나는 범위가 된다. 또한 E와 F는 평형위치로서 기하학적인 중심은 아니지만 진동의 중심이 되어 이곳을 중심으로 하여 운동의 상태가 크게 변할 것이다.

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퍼텐셜과 진동_ 퍼텐셜에너지가 아래로 오목한 영역에서 진동이 일어날 수 있다. 그림에서 물체의 에너지가 위의 녹색 수평선의 값으로 주어진 경우 운동이 일어나는 범위는 A와 B 사이가 되고, 아래의 경우에는 C와 D 사이가 될 것이다. 한편 왼쪽에 있는 부분적인 극소값의 지점 E 점 주변으로도 물체가 진동을 할 수 있는 데 만일 저항에 의해 에너지를 잃게 된다면 물체는 최종적으로 E 점에 머무르게 될 것이다.


_ 저항



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